En álgebra, el producto cartesiano es una operación que se realiza entre dos conjuntos. Consiste en formar todos los pares ordenados posibles donde el primer elemento pertenece al primer conjunto (A) y el segundo elemento al segundo conjunto (B).
Se representa como:
A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}
Esto significa: el conjunto de todos los pares ordenados donde el primer valor es de A y el segundo es de B.
La gráfica de un producto cartesiano se realiza en un plano cartesiano (como el de geometría). Cada par ordenado del conjunto A × B se representa como un punto en ese plano.
El primer valor del par (x) va en el eje horizontal (eje X) y el segundo valor (y) va en el eje vertical (eje Y).
Ejemplo:
Si tenemos:
A = {1, 2}
B = {3, 4}
Entonces: A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
Para graficar, colocamos estos puntos en el plano:
En álgebra, una relación es un conjunto de pares ordenados que provienen del producto cartesiano de dos conjuntos. En otras palabras, es una selección de pares del producto A × B que cumplen cierta condición o criterio.
Se dice que hay una relación entre dos elementos a ∈ A y b ∈ B si el par (a, b) pertenece a la relación.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6},
una relación R podría ser:
R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
Aquí se puede ver que cada número de A está relacionado con un número de B tal que b = 2 × a.
En términos simples, el dominio de una relación es el conjunto de todos los primeros valores que aparecen en los pares ordenados de esa relación. Son los "orígenes" de cada conexión entre elementos de dos conjuntos.
Ejemplo 3 (conjunto numérico):
Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {6, 7, 8}
Y la relación R definida como:
R = {(1, 6), (2, 6), (4, 7), (4, 8)}
El dominio de R es: {1, 2, 4}
Porque 1, 2 y 4 son los valores del primer conjunto que aparecen al inicio de los pares.
Ejemplo 4 (gráfico referencial):
Supón que graficas los siguientes puntos en el plano:
(−2, 3), (0, 5), (1, −1), (−2, 4)
Dominio = {−2, 0, 1}
Aunque −2 aparece dos veces, se incluye solo una vez.
¿Qué pasa si un valor de A no está en ningún par?
Ese valor no pertenece al dominio.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(1, 4), (2, 5), (5, 6)}
El dominio es: {1, 2, 5}
(3 y 4 no están relacionados, así que no se incluyen).
¿Cuál es la diferencia entre dominio de una relación y una función?
Relación
Función
Un elemento del dominio puede estar relacionado con varios valores del otro conjunto.
Cada elemento del dominio solo se relaciona con uno del otro conjunto.
Ejemplo: (2, 5), (2, 7) → válido
Ejemplo: (2, 5), (2, 7) → no es función
Imagen (Rango) de una Relación
¿Qué es la imagen (o rango) de una relación?
La imagen (también llamada rango) de una relación es el conjunto de todos los segundos elementos (valores de salida) que aparecen en los pares ordenados de esa relación.
En otras palabras, si tienes pares como (a, b), (c, d), (e, f), entonces la imagen estará formada por b, d y f: todos los elementos que aparecen como segundos valores en los pares ordenados.
Definición formal:
Imagen de R = { y ∈ B | existe x ∈ A tal que (x, y) ∈ R }
Ejemplo 1:
R = {(1, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 6)}
→ Imagen: {4, 5, 6}
Aunque 4 aparece dos veces, en el conjunto imagen solo se escribe una vez.
Ejemplo 2 (conjunto de personas):
Conjunto A = estudiantes
Conjunto B = cursos
R = {(Ana, Biología), (Luis, Física), (Ana, Química)}
Imagen = {Biología, Física, Química} Son todos los cursos que al menos una persona eligió.
