Dominio e Imagen de una relación

 

¿Qué es el dominio?

En términos simples, el dominio de una relación es el conjunto de todos los primeros valores que aparecen en los pares ordenados de esa relación. Son los "orígenes" de cada conexión entre elementos de dos conjuntos.

Ejemplo 3 (conjunto numérico):

Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {6, 7, 8}

Y la relación R definida como:
R = {(1, 6), (2, 6), (4, 7), (4, 8)}

El dominio de R es:
{1, 2, 4}

Porque 1, 2 y 4 son los valores del primer conjunto que aparecen al inicio de los pares.

 Ejemplo 4 (gráfico referencial):

Supón que graficas los siguientes puntos en el plano:
(−2, 3), (0, 5), (1, −1), (−2, 4)

Dominio = {−2, 0, 1}

Aunque −2 aparece dos veces, se incluye solo una vez.

¿Qué pasa si un valor de A no está en ningún par?

Ese valor no pertenece al dominio.

Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(1, 4), (2, 5), (5, 6)}

El dominio es: {1, 2, 5}
(3 y 4 no están relacionados, así que no se incluyen).

¿Cuál es la diferencia entre dominio de una relación y una función?

Relación	Función
Un elemento del dominio puede estar relacionado con varios valores del otro conjunto.	Cada elemento del dominio solo se relaciona con uno del otro conjunto.
Ejemplo: (2, 5), (2, 7) → válido	Ejemplo: (2, 5), (2, 7) →  no es función

Imagen (Rango) de una Relación

¿Qué es la imagen (o rango) de una relación?

La imagen (también llamada rango) de una relación es el conjunto de todos los segundos elementos (valores de salida) que aparecen en los pares ordenados de esa relación.

En otras palabras, si tienes pares como (a, b), (c, d), (e, f), entonces la imagen estará formada por b, d y f: todos los elementos que aparecen como segundos valores en los pares ordenados.

Definición formal:
Imagen de R = { y ∈ B | existe x ∈ A tal que (x, y) ∈ R }

Ejemplo 1:

R = {(1, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 6)}

→ Imagen: {4, 5, 6}

Aunque 4 aparece dos veces, en el conjunto imagen solo se escribe una vez.

Ejemplo 2 (conjunto de personas):

Conjunto A = estudiantes
Conjunto B = cursos

R = {(Ana, Biología), (Luis, Física), (Ana, Química)}

Imagen = {Biología, Física, Química}
Son todos los cursos que al menos una persona eligió.

Ejemplo 3 (gráfico):

Gráfica con puntos:
(−2, 1), (0, 3), (1, 1), (2, 5)

→ Imagen: {1, 3, 5}

Diferencias entre dominio e imagen:

Característica	Dominio	Imagen
¿Qué valores incluye?	Primeros elementos (entrada)	Segundos elementos (salida)
¿De qué conjunto provienen?	Del conjunto A	Del conjunto B
¿Dónde están en el par ordenado?	Primero: (a, b)	Segundo: (a, b)